Question

如图所示，质量为 M 、 倾角为 α 的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动

如图所示，质量为 M 、 倾角为 α 的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为 μ ，斜面顶端与劲度系数为 k 、自然长度为 l 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为 m 的物块。压缩弹簧使其长度为 时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为 。 （1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用 x 表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；（3）求弹簧的最大伸长量；（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数 μ 应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

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Answer 1

（1）  （2）见解析（3）  （4）

（1）设物块处于平衡位置时弹簧的伸长量为Δ l ，则 ，解得 所以此时弹簧的长度为 。 （2）当物块相对平衡位置的位移为 x 时，弹簧的伸长量为 x+ Δ l ，物块所受合力（即回复力） F 合 = ，联立以上各式， F 合 =- kx ，由此可知该物块做简谐运动。 （3）该物块做简谐运动的振幅为 ，由简谐运动的对称性可知，弹簧的最大伸长量 为 （4）设物块位移 x 为正，对斜面受力分析如图所示。 由于斜面受力平衡，则有 在水平方向上有： f + F N 1 sin α - F cos α =0；在竖直方向上有： F N 2 － Mg - F sin α - F N 1 cos α =0 又 F= ， F N 1 = mg cos α 联立可得 f = kx cos α ， F N 2 = Mg + mg + kx sin α 为使斜面始终处于静止状态，结合牛顿第二定律，应满足 ，所以 当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有 μ ≥ 。 【另解】对由斜面、物块、弹簧组成的系统受力分析，受重力（ M ＋ m ） g 、地面的支持力 N 和水平方向的静摩擦力 f 作用，如图所示。 建立图示直角坐标系，根据牛顿第二定律可知： 在水平方向上有： f = M ×0＋ ma cos α ；在竖直方向上有： N －（ M ＋ m ） g = M ×0＋ ma sin α 其中，静摩擦力 f ≤ f m ＝ μ N ， a = =- (- A ≤ x ≤ A )， 联立以上各式，解得： μ ≥ 。