Question

设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），（2）讨论f（x）的

设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），（2）讨论f（x）的单调性；（3）若函数f（x）在区间[?1，32]上存在零点，求a的取值范围；（4）设a＞0，g(x)＝(a2+254)ex．若存在x1，x2∈[0，4]，使得|f（x1）-g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=-[x ²+（a-2）x+b-a]e^3-x
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-x=0，即得b=-3-2a---（3分）
（2）f′（x）=-[x²+（a-2）x-3-2a-a e^3-x=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x
=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
①由于x=3是极值点，所以3+a+1≠0，那么a≠-4----------（4分）
②当a＜-4时，x₂＞3=x₁，则f（x）增区间为（3，-a-1），减区间为 （-∞，3）（-a-1，+∞）--（5分）
③当a＞-4时，x₂＜3=x₁，f（x）增区间为（-a-1，3），减区间为（-∞，-a-1）（3，+∞）---（6分）
（3）函数f（x）在区间[?1，

3

2

]上存在零点即（x²+ax+b）e^3-x=0在区间[?1，

3

2

]上有根
所以x²+ax-3-2a=0即a＝

x2?3

2?x

在区间[?1，

3

2

]上有根----------（7分）
令u(x)＝

x2?3

2?x

，则u/(x)＝

?(x?1)(x?3)

(2?x)2

则u（x）在[-1，1]上递减，在[1，

3

2

]递增，------------------（9分）
又u(?1)＝?

2

3

，u(1)＝?2，u(

3

2

)＝?

3

2

所以u（x）的值域为[?2，?

2

3

]
所以a∈[?2，?

2

3

]时，函数f（x）在区间[?1，

3

2

]上存在零点----------（10分）
（4）当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的递增，在区间（3，4）上递减，
而f （0）=-（2a+3）e³＜0，f （4）=（2a+13）e^-1＞0，f （3）=a+6
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]------（12分）
又g(x)＝(a2+

25

4

)ex．在区间[0，4]上是增函数
它在区间[0，4]上的值域是[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]--------（13分）
由于(a2+

25

4

)?(a+6)＝a2?a+

1

4

＝(a?

1

2

)2≥0，
所以只须(a2+

25

4

)?(a+6)＜1且a＞0，
解得0＜a＜

3

2