Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，四棱锥B-AA1C1D的体积

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，四棱锥B-AA1C1D的体积为3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求直线A1C1与平面BDC1所成角的正弦值；（3）求二面角C-BC1-D的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点，
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D
（2）作BE⊥AC，垂足为E，
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，BE?底面ABC
∴AA₁⊥BE
∵AA₁∩AC=A
∴BE⊥平面AA₁C₁C．
设BC=a，在Rt△ABC中，BE=

AB?BC

AC

=

2a

4+a2

∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=

1

3

×

1

2

（A₁C₁+AD）?AA₁?BE=a=3，即BC=3
∴BE=

6

13

在三角形C₁BD中，BC₁=

13

，BD=

13

2

，C₁D=

29

2

，
∴cos∠C1BD＝

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