Question

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=1 /2AA1,D是棱AA1的中点.

平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

Answer 1

体积比是1:1

这是2012年全国新课标文科试题

分析：（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1= 1/3× (1+2)/2×1×1= 1/2，三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，于是可得（V-V1）：V1=1：1，从而可得答案．

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Answer 2

建立如图坐标系，A(1,0,0),B(0,1,0),C1(0,0,2),D(1,0,1)

BC1D方程为 x+2y+z = 2, z = 2-x-2y

BC1D平面下面部分的体积可以通过积分求得，x:0->1, y:0->1-x, z:0->2-x-2y

体积 = 1/2， 总体积=1，所以体积比1：1