Question

设双曲线x²/a²-y²/b²=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，已知原点到直线l:bx+ay=a

设双曲线x²/a²-y²/b²=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，已知原点到直线l:bx+ay=ab的距离等于c/4 +1，则c的最小值为

Answer 1

解：依题意知d=|-ab|/√a^2+b^2
=ab/c=c/4+1 即ab=(c/4+1)c
由均值不等式得ab≤(a^2+b^2)/2=c^2/2
亦即(c/4+1)c≤c^2/2
解之得c≥4当且仅当a=b=2√2时取得最小值
故c的最小值为4

如有不懂，可追问！

Answer 2

由已知：|0×x+0×y-ab|/√(a^2+b^2)
=|ab|/√c^2
=ab/c=c/4 + 1
∴ab=(c^2 + c)/4
根据基本不等式，有：
ab≤(a^2 + b^2)/2=c^2/2
∴(c^2 + c)/4 ≤ c^2/2
解得：c≤0或c≥4
∵c>0
∴c=4