Question

设函数f(x)=x-alnx+b/x在x=1处取得极值

若a>3,函数g(x）=a^2x^2+3,若存在m1, m2∈[ 1/2,2] ,使得|f（m1）-g（m2）| <9成立，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=x-alnx+b/x在x=1处取得极值,
f'(x)=1-a/x-b/x^2,
f'(1)=1-a-b=0,b=1-a.
f(x)=x-alnx+(1-a)/x,x>0,a>3,
f'(x)=(x^2-ax+a-1)/x^2=(x-1)(x+1-a)/x^2,
1<x<a-1时f'(x)<0,f(x)是减函数；其他，f(x)是增函数，
∴f(1)=2-a是极大值，f(1/2)=5/2-a(2-ln2)，f(2)=5/2-a(ln2+1/2),
f(1/2)<f(2)<f(1),①
f(+∞)→+∞，f(0+)→(1-a-axlnx)/x
存在m1, m2∈[ 1/2,2] ,使得|f（m1）-g（m2）| <9,
<==>g(m2)-9<f(m1)<g(m2)+9,②
g(m2)=a^2m2^2+3∈[(1/4)a^2+3,4a^2+3],
②变为(1/4)a^2-6<f(m1)<4a^2+12,③
由①，③变为(1/4)a^2-6<f(1/2)<4a^2+12或(1/4)a^2-6<f(1)<4a^2+12，
即(1/4)a^2-6<5/2-a(2-ln2)<4a^2+12,或(1/4)a^2-6<2-a<4a^2+12,
∴“(1/4)a^2+a(2-ln2)-17/2<0,4a^2+a(2-ln2)+19/2>0(恒成立)”，
或“(1/4)a^2+a-8<0,4a^2+a+10>0(恒成立)”，
解得3<a<4,为所求。