Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g(x)=loga 1/1-x,记F（x）=2f(x)+g(x)

若关于x的方程F(x)-2m^2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围。

Answer 1

a＞0且a≠1
f(x) = loga[x+1]
g(x) = loga 1/(1-x)
x属于[0，1)
F(x) = 2f(x)+g(x) = 2loga[x+1] + loga 1/(1-x) = loga[(1+x)²/(1-x)]
= loga{[(1-x)²-4(1-x)+4]/(1-x)]}
= loga[(1-x)+4/(1-x)-4]
= loga{ [√(1-x)-2/√(1-x)]²｝
x＞-1时，[√(1-x)-2/√(1-x)]²带调增
最小值F(0)=loga{ [√(1-0)-2/√(1-0)]²｝ = 0
F(x)-2m^2+3m+5=0只有一解：2m^2-3m-5≤0
(m+1)(2m-5)≤0
-1≤m≤5/2