Question

在梯形ABCD中，AD ∥ BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E、F分别在边AB、CD上，EF ∥ AD ，点P与

在梯形ABCD中，AD ∥ BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E、F分别在边AB、CD上，EF ∥ AD ，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF=90°，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y．（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．

Answer 1

（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H， ∵梯形ABCD中，∠B=90°， ∴DH ∥ AB， 又∵AD ∥ BC， ∴四边形ABHD是矩形， ∵∠C=45°， ∴∠CDH=45°， ∴CH=DH=AB=8， ∴AD=BH=BC-CH=6． （2）∵DH⊥EF，∠DFE=∠C=∠FDG=45°， ∴FG=DG=AE=x， ∵EG=AD=6， ∴EF=x+6， ∵PE=PF，EF ∥ BC， ∴∠PFE=∠PEF=∠PMN=∠PNM， ∴PM=PN， 过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R， ∵∠MPN=∠EPF=90°，QR⊥MN， ∴PQ= 1 2 EF= 1 2 (x+6) ，PR= 1 2 MN= 1 2 y ， ∵QR=BE=8-x， ∴ 1 2 (x+6)+ 1 2 y=8-x ， ∴y关于x的函数解析式为y=-3x+10．定义域为1≤x＜ 10 3 ． （3）当点P在梯形ABCD内部时，由MN=2及（2）的结论得2=-3x+10，AE= x= 8 3 ， ∴ S 梯形AEFD = 1 2 （AD+EF）?AE= 1 2 (6+6+ 8 3 )× 8 3 = 176 9 ， 当点P在梯形ABCD外部时，由MN=2及与（2）相同的方法得： 1 2 (x+6)- 1 2 ×2=8-x ，AE=x=4， ∴ S 梯形AEFD = 1 2 （AD+EF）?AE= 1 2 (6+6+4)×4=32 ．