Question

（1）如图，在梯形ABCD中，AB ∥ CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF ∥ AB，且EF交BC于点F，某学

（1）如图，在梯形ABCD中，AB ∥ CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF ∥ AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当 DE AE =1 时，有 EF= a+b 2 ；②当 DE AE =2 时，有 EF= a+2b 3 ；③当 DE AE =3 时，有 EF= a+3b 4 ．当 DE AE =k 时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB ∥ CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

Answer 1

（1）猜想得：EF= a+kb 1+k ， 证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H． ∵AB ∥ CD， ∴△AGE ∽ △DHE， ∴ DH AG = DE AE ， 又∵EF ∥ AB ∥ CD， ∴CH=EF=GB， ∴DH=EF-a，AG=b-EF， ∴ EF-a b-EF =k ，可得 EF= a+kb 1+k ； （2）在AD上取一点E，作EF ∥ AB交BC于点F， 设 DE AE =k ， 则EF= 170+310k 1+k ， DE= 70k 1+k ， 若S 梯形DCFE =S 梯形ABFE ，则S 梯形ABCD =2S 梯形DCFE ， ∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形， ∴ 170+310 2 ×70=2× 1 2 ×（170+ 170+310x 1+x ）× 70k 1+k ， 化简得12k 2 -7k-12=0解得： k 1 = 4 3 ， k 2 =- 3 4 （舍去）， ∴DE= 70 1+k =30， 所以只需在AD上取点E，使DE=30米，作EF ∥ AB（或EF⊥DA）， 即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．