Question

如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于

如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．（1）求证：AF=DE； （2）连结DF、EF，设AE=x，三角形的面积为y，用含x的代数式表示y； （3）如果△DEF的面积为132，求FG的长．

Answer 1

（1）∵AF⊥DE，∠B=90°，
∴∠AED=∠AFB，
在△ABF与△DAE中，

∠AED＝∠AFB ∠DAE＝∠B AD＝AB

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF=x，
∴BE=CF=4-x，
∴△DEF的面积=S_正方形-S_△ADE-S_△EBF-S_△DCF=4×4-

1

2

×4?x-

1

2

（4-x）?x-

1

2

×4?（4-x）=8-2x+

1

2

x²，
∴y=

1

2

x²-2x+8．
（3）∵△DEF的面积为

13

2

，
∴

1

2

x²-2x+8=

13

2

，
解得，x₁=3，x₂=1，
∴AE=3或AE=1，
∴DE=

AD2+AE2

=5或

17

，
∵S_△DEF=

1

2

DE?FG，
∴FG=

2S△DEF

DE

=

2× 13 2

5

=

13

5

或FG=

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2018-03-17

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