已知正方形ABCD,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)直接

已知正方形ABCD,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图①中的△... 已知正方形ABCD,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图①中的△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②,取DF的中点G,连接EG,CG.你在(1)中得到印结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.(3)将图①中的△BEF绕B点旋转任意角度,如图③,再连接相应的线段,则(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明) 展开
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解:(1)如图①,在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴CG=
1
2
FD,
在Rt△DEF中,
∵G为DF的中点,
∴EG=
1
2
FD,
∴CG=EG;
(2)如图②,(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
理由:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
∴∠AMG=∠DMG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=BC=AB,∠ADG=∠CDG.∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.
在△DAG和△DCG中,
AD=CD
∠ADG=∠CDG
DG=DG

∴△DAG≌△DCG(SAS),
∴AG=CG.
∵G为DF的中点,
∴GD=GF.
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠BAD,
∴AD∥EF,
∴∠N=∠DMG=90°.
在△DMG和△FNG中,
∠DGM=∠FGN
FG=DG
∠MDG=∠NFG

∴△DMG≌△FNG(ASA),
∴MG=NG.
∵∠DA∠AMG=∠N=90°,
∴四边形AENM是矩形,
∴AM=EN,
在△AMG和△ENG中,
AM=EN
∠AMG=∠ENG
MG=NG

∴△AMG≌△ENG(SAS),
∴AG=EG,
∴EG=CG; 
(3)如图③,(1)中的结论仍然成立.
理由:过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN⊥AB于N.
∵MF∥CD,
∴∠FMG=∠DCG,∠MFD=∠CDG.∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB,
∴∠FNH=∠ANF=90°.
∵G为FD中点,
∴GD=GF.
在△MFG和△CDG中
∠FMG=∠DCG
∠MFD=∠CDG
GF=GD

∴△CDG≌△MFG(AAS),
∴CD=FM.MG=CG.
∴MF=AB.
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°.
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°,
∴∠NFH=∠EBH.
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°,
∴四边形ANFQ是矩形,
∴∠FMN=90°.
∴∠MFN=∠
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