Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=4，c=2，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin(A+π3)的值

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=4，c=2，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin(A+π3)的值．

Answer 1

（1）因为A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，
由余弦定理得cosB=

a2+c2?b2

2ac

=

sinA

2sinB

，
所以由正弦定理可得a=2b?

a2+c2?b2

2ac

，
因为b=4，c=2，所以a²=24，即a=2

6

；
（2）由余弦定理得cosA=

b2+c2?a2

2bc

=?

1

4

，
因为0＜A＜π，所以sinA=

1?cos2A

=

15

4

．
故sin(A+

π

3

)=sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

15

4

×

1

2

+（?

1

4

）×

3

2

=

15 ? 3

8

．