Question

如图所示在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ、II象限存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，第 III、Ⅳ象限

如图所示在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ、II象限存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，第 III、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上距原点O为d的P点以速度v0垂直于y轴射入第Ⅰ象限的电场，经x轴射入磁场，已知E＝mv202qd，B＝mv02qd．不计粒子重力，求：（1）粒子在磁场中运动的半径，画出带电粒子运动的轨迹．（2）从粒子射入电场开始，求粒子经过x轴时间的可能值．

Answer 1

解答：解：（1）带电粒子射入电场中作类平抛运动，由牛顿第二定律，有  a＝

qE

m

＝

v 2 0

2d

…①
由类平抛运动的特点，竖直方向上作初速度为零的匀加速运动，有 
  d＝

1

2

at2…②
  v_y=at…③
水平方向上作匀速直线运动，有  x=v₀t…④
设合速度与水平方向的夹角为θ，由合速度与分速度的关系得  tanθ＝

vy

v0

…⑤
   v=

v 2 x + v 2 y

…⑥
以上六式联立可得：x=2d，v=

2

v0，θ＝

π

4

．
带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB＝

mv2

r

…⑦
代入可得：r＝2

2

d…⑧
由几何关系可确定出带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心在y轴下方2d处，根据圆的对称性，粒子出磁场时的速度和距离与入磁场时对称，带电粒子进入第 II象限作斜抛运动，运动情况跟在第一像限对称，故可画出带电粒子运动的轨迹．
（2）由上问知粒子在第Ⅰ象限的电场中运动的时间t1＝

2d

v0

…①，
在磁场中运动的周期由：T＝

2πm

qB

，
带电粒子在磁场中运动的时间为：t2＝

3T

4

＝

3πm

2qB

＝

3πd

v0

…②，
带电粒子在第第 II象限的电场中运动的时间：t3＝

2d

v0

…③，
故带电粒子经过x轴正半轴时间的可能值为：t＝n(t1+t2+t3)+t1＝

n(3π+4)d

v0

+

2d

v0

（n=0、1、2、3…）…④．
带电粒子经过x轴负半轴时间的可能值为：t＝n(t1+t2+t3)+t1+t2＝

n(3π+4)d

v0

+

(2+3π)d

v0

（n=0、1、2、3…）…⑤．
答：
（1）粒子在磁场中运动的半径为2

2

d，轨迹如答图所示．
（2）带电粒子经过x轴正半轴时间的可能值为t＝n(t1+t2+t3)+t1＝

n(3π+4)d

v0

+

2d

v0

（n=0、1、2、3…）．
带电粒子经过x轴负半轴时间的可能值为t＝n(t1+t2+t3)+t1+t2＝

n(3π+4)d

v0

+

(2+3π)d

v0

（n=0、1、2、3…）．