Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120º，BD＝10． （1

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120º，BD＝10． （1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明见解析（2）10

（1）证明：连接OC． ∵DC切⊙O于点C， ∴∠OCD=90°． 又∵∠ACD=120°， ∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°． ∵OC=OA， ∴∠A=∠ACO=30°， ∴∠COD=60°． ∴∠D=30°， ∴CA=DC． （2）解：∵sin∠D= ， sin∠D=sin30°= ， ∴ ． 解得OB=10． 即⊙O的半径为10． （1）可通过证明角相等来证边相等．连接OC，则OC⊥CD，那么∠ACO=30°；根据等边对等角我们不难得出∠A=30°，∠COD=60°，直角三角形OCD中，∠COD=60°，因此∠A=∠D=30°，由此便可得出CA=CD． （2）在直角三角形OCD中，可用半径表示出OC，OD，有∠D的度数，可用正弦函数求出半径的长．