Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在区间[-

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

（1）令x=0，则∵f（x+1）-f（x）=2x， ∴f（1）-f（0）=0， ∴f（1）=f（0） ∵f（0）=1 ∴f（1）=1， ∴二次函数图象的对称轴为 x= 1 2 ． ∴可令二次函数的解析式为f（x）= y=a(x- 1 2 ) 2 +h ． 令x=-1，则∵f（x+1）-f（x）=2x， ∴f（0）-f（-1）=-2 ∵f（0）=1 ∴f（-1）=3， ∴ 1 4 a+h=1 9 4 a+h=3 ∴a=1， h= 3 4 ∴二次函数的解析式为 y=f(x)=(x- 1 2 ) 2 + 3 4 = x 2 -x+1 （2）∵在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方 ∴x 2 -x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立 ∴x 2 -3x+1＞m在[-1，1]上恒成立 令g（x）=x 2 -3x+1，则g（x）=（x- 3 2 ） 2 - 5 4 ∴g（x）=x 2 -3x+1在[-1，1]上单调递减 ∴g（x） min =g（1）=-1， ∴m＜-1