Question

已知：如图一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y= x 2 +bx+c的图象与一次函数y=

已知：如图一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y= x 2 +bx+c的图象与一次函数y= x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）。 （1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y= x 2 +bx+c得， ，得解析式 ； （2）设C（x 0 ，y 0 ），则有 ，解得 ， ∴C（4，3）， 由图可知：S=S △ACE -S △ABD ，又由对称轴为x= 可知E（2，0）， ∴ ； （3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）： 当P为直角顶点时， 如图：过C作CF⊥x轴于F， ∵Rt△BOP∽Rt△PFC， ∴ ，即 ， 整理得a 2 -4a+3=0，解得a=1或a=3， ∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0）， 综上所述：满足条件的点P共有二个。