Question

已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y

已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，（1）设x，y∈（0，+∞），求证 f( y x )=f(y)-f(x) ；（2）设x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），若f（x 1 ）＜f（x 2 ），试比较x 1 与x 2 的大小；（3）解关于x的不等式f（x 2 -2x+1）＞0．

Answer 1

（1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），∴ f( y x )+f(x)=f(y) ， ∴ f( y x )=f(y)-f(x) ； （2）∵f（x 1 ）＜f（x 2 ），∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0， 又 f( x 1 x 2 )=f( x 1 )-f( x 2 ) ，所以 f( x 1 x 2 )＜0 ∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1， ∴ x 1 x 2 ＞1 ，x 1 ＞x 2 （3）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0， ∴f（x 2 -2x+1）＞0?f（x 2 -2x+1）＞f（1）， 由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数， ∴0＜x 2 -2x+1＜1， 解得0＜x＜2且x≠1， ∴不等式解集为（0，1）∪（1，2）