Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意的x，y∈（0，+∞），恒有f（xy）

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意的x，y∈（0，+∞），恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立．（Ⅰ）求f（1）；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅲ）当f（2）=1时，①解不等式f（x）+f（x-3）≤2；②求函数f（x）在[2，4]上的值域．

Answer 1

（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
（Ⅱ）证明：令0＜x₁＜x₂＜+∞，当x＞1时，f（x）＞0，∴f（

x2

x1

）＞0
∵f（x₁

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

），
∴f（x₂）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）①令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
原不等式可化为f[x（x-3）]≤f（4），
因为函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴

x＞0 x?3＞0 x(x?3)≤4

，
解得3＜x≤4，
故原不等式的解集为（3，4]；
②令x=y=

2

则f（2）=f（

2

）+f（

2

）=1，
∴f（

2

）=

1

2

∵因为函数f（x）在[

2

，4]上单调递增，f（4）=2
∴函数f（x）在[

2

，4]上的值域[

1

2

，2]