Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax 2 +bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）A（1，4）。 由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1） 2 +4 ∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1） 2 +4，解得，a=﹣1。 ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1） 2 +4，即y=﹣x 2 +2x+3。 （2）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A（1，4），C（3，0）， ∴ ，解得 。 ∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6。 ∵点P（1，4﹣t）， ∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为 。 ∴点G的横坐标为 ，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为 。 ∴GE=（ ）﹣（4﹣t）= 。 又点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为 ， ∴ 。 ∴当t=2时，S △ACG 的最大值为1。 （3） 或 。

（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为 y=a（x﹣1） 2 +4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）。 （2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标 （1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE= 、点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为 ；最后根据三角形的面积公式可以求得 ，由二次函数的最值可以解得t=2时，S △ACG 的最大值为1。 （3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上。分CE是边和对角线两种情况讨论即可。 由题设和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（ ），设H（ ）。 当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即 ， 解得， 或t=4（舍去，此时C，E重合）。 当CE是边时，如图2，有CQ=CE=EH，即 ， 解得， 或 （舍去，此时已超过矩形ABCD的范围）。 综上所述，当 或 时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H， 使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形。