Question

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=- 1 2 x2+bx+c经过

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-2分之1
x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-2分之1
x2+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒2分之根号13
个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y=-1／2x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，
∴c=3 -8+4b+c=3
解得：c=3 b=2
∴该抛物线解析式y=-1／2x2+2x+3，
设直线AD的解析式为y=k1x+b1
∵A（4，0）、D（2，3），
∴4k1+b1=0 2k1+b1=3
∴k1=-3／2 b1=6
∴y=-3／2x+6
联立y=-3／2x+6 y=-1／2x2+2x+3
∵F点在第四象限，
∴F（6，-3）；

（2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如图（1）），
连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2
∵C（0，3）、F（6，-3），
∴b2=3 6k2+b2=-3
解得：k2=-1 b2=3
∴y=-x+3
当y=0时，x=3，
∴H′（3，0），
∴CP=3，∴t=3；
，

②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，
∵△AMN∽△AEO，
∴AM／AE= AN ／AO= MN／EO
∴（13／2×t）／2／13= AN／4= MN／6
∴AN=t，MN=3／2t
I如图3，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN=1／2PH，
∴MN=3／2t=3／2
∴t=1；
II如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=3／2t
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，MN2+HN2=MH2，
∴(3／2t)2+(4-2t)2=32，
即25t2-64t+28=0，
解得：t1=2（舍去），t2=14／25
III如图4，当PH=PM时，
∵PM=3，MT=|3-3／2t|，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
∴在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，
即(3-3／2t)2+(4-2t)2=32，
∴25t2-100t+64=0，
解得：t1=16／5，t2=4／5

综上所述：t=14／25，4／5，1，16／5

Answer 2

答：
题目描述出现太多和图不符合的地方了，况且抛物线对解答本题没有影响，出现抛物线有什么用？
依据题意，矩形ABCO的各顶点坐标为A（4,0）、B（4,3）、C（0,3）；
D为BC中点，所以D（2,3）。点P在BC直线y=3上，设点P为（t,3），点H（t，0）。
AD直线为：y-0=(x-4)(3-0)/(2-4)，即：y=-3x/2 6，与y轴交点E为（0,6）；点M在直线AD上。
MA=√13t/2；
AE=√[(6-0)^2 （0-4)^2]=2√13
sin∠OAE=OE/AE=6/(2√13)=3/√13
cos∠OAE=2/√13
所以：
点M的坐标为y=0 MA*sin∠OAE=(√13t/2)*(3/√13)=3t/2；
x=4-MA*cos∠OAE=4-(√13t/2)*(2/√13)=4-t
所以点M(4-t,3t/2)。
MP^2=(4-t-t)^2 (3t/2-3)^2=25t^2/4-25t 25
MH^2=(4-t-t)^2 (3t/2-0)^2=25t^2/4-16t 16
PH^2=3^2=9
△PMH是等腰三角形：
1）当MP=MH时，25t^2/4-25t 25=25t^2/4-16t 16，解得：t=1；
2）当MP=PH时，25t^2/4-25t 25=9，解得：t=4/5或者t=16/5；
3）当MH=PH时，25t^2/4-16t 16=9，解得：t=14/25(t=2时点M和点P重合于点D，不符合舍去).
综上所述，t=14/25或者t=4/5或者t=1或者t=16/5时，△PMH是等腰三角形。