Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、 D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A

、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三

角形?请直接写出相应的t值.

Answer 1

解：(1)易得A点为(4,8)
由于抛物线过(4,8)(8,0)，分别代入抛物线得a=-1/2,b=4
所以抛物线为y=-1/2x+4x
（2）由题知AE函数为y=-2x+16，P点坐标为（4,8-t)
而AE纵坐标与P点相同，所以有8-t=-2x+16,得x=(t+8)/2
即E点为((t+8)/2,8-t)
而E与G共横坐标，所以有y=-1/2((t+8)/2)+4(t+8)/2=-1/8t+8
即G为((t+8)/2,-1/8t+8)
所以EG=yG-yE=-1/8t+8-(8-t)=-1/8t+t
所以有最大值当ymax=2时,t=4
(3)E点为((t+8)/2,8-t),Q点坐标为(8,t),C点坐标为(8,0)
用向量法得：向量CQ=(0,t),向量EC=(-t/2+4,t-8),向量EQ=(-t/2+4,2t-8)
所以|CQ|=t,
当|EC|=|EQ|时，即(-t/2+4)+(t-8)=(-t/2+4)+(2t-8)
即t-8=2t-8,所以t无解，即|EC|≠|EQ|
当|CQ|=|EC|时，即(-t/2+4)+(t-8)=t
解得t=40±16根号5，因为0<t<8所以t=40-16根号5
当|CQ|=|EQ|时，即t=(-t/2+4)+(2t-8)
(13t-40)(t-8)=0因为t≠8所以13t-40=0所以t=40/13

Answer 2

分析：（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=EC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．

解：
（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．（1分）
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得 {16a+4b=8 64a+8b=0解得a=- 1/2，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=- 1/2x2+4x；（3分）
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE= PE/AP= BC/AB，即 PE/AP= 4/8．
∴PE= 1/2AP= 1/2t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+ 1/2t，8-t）．
∴点G的纵坐标为：- 1/2（4+ 1/2t）2+4（4+ 1/2t）=- 1/8t^2+8．（5分）
∴EG=- 1/8t^2+8-（8-t）=- 1/8t^2+t．
∵- 1/8＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．（7分）
②共有三个时刻．（8分）
（①）当EQ=QC时，
因为Q（8，t），E（4+ 1/2t，8-t），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=t^2．
整理得13t^2-144t+320=0，
解得t= 40/13或t= 104/13=8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC=CQ时，
因为E（4+ 1/2t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2=t^2．
整理得t^2-80t+320=0，t=40-16 根号5，t=40+16 根号5＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ=EC时，
因为Q（8，t），E（4+ 1/2t，8-t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t= 163．
于是t1= 16/3，t2= 40/13，t3=40-16根号 5．（11分）

点评：抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．