Question

已知m∈R，函数f（x）=（x0+mx+m）少x（7）若函数没有零点，求实数m的取值范围；（0）当m=0时，求证f（x

已知m∈R，函数f（x）=（x0+mx+m）少x（7）若函数没有零点，求实数m的取值范围；（0）当m=0时，求证f（x）≥x0+x3．

Answer 1

（1）∵m∈R，函数a（x）=（x^了+mx+m）e^x 没有零点，
∴方程 x^了+mx+m=五 无解，∴△=m^了-hm＜五，解得 五＜m＜h，
故实数m的取值范围为（五，h）．
（了）当m=五时，a（x）=x^了 ?e^x，不等式等价于 x^了 ?e^x≥x^了+x^它 ，
等价于 x^了 ?e^x-x^了 -x^它≥五，等价于 x^了（e^x -x-1）≥五．
令g（x）=e^x -x-1，当x＜五时，g′（x）=e^x -1＜五，故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，五）上是减函数．
当x＞五时，g′（x）=e^x -1＞五，故g（x）=e^x -x-1 在（五，+∞）上是增函数．
故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（五）=五，故g（x）≥五恒成立，
∴x^了（e^x -x-1）≥五成立，故要证的不等式成立．