Question

已知直线过椭圆x24+y23=1的左焦点F1，且与椭圆交于A，B两点，过点A，B分别作椭圆的两条切线，则其交点的

已知直线过椭圆x24+y23=1的左焦点F1，且与椭圆交于A，B两点，过点A，B分别作椭圆的两条切线，则其交点的轨迹方程______．

Answer 1

当直线l的斜率存在时，设为k，直线l的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则椭圆在点A处的切线方程为：

x1x

4

+

y1y

3

＝1，①
椭圆在点B的切线方程为：

x2x

4

+

y2y

3

＝1，②
联立方程①②得：x=

4(y2?y1)

x1y2?x2y1

=

4k(x2?x1)

x1k(x2?1)?x2k(x1+1)

=-4，
即此时交点的轨迹方程：x=-4．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，
此时A（-1，1.5），B（-1，-1.5），经过AB两点的切线交点为（-4，0）．
综上所述，切线的交点的轨迹方程为：x=-4．
故答案为：x=-4．