Question

已知数列{an}满足：a1=1，a2=12，且[3+（-1）n]an+2-2an+2[（-1）n-1]=0，n∈N*．（Ⅰ）令bn=a2n-1，判断

已知数列{an}满足：a1=1，a2=12，且[3+（-1）n]an+2-2an+2[（-1）n-1]=0，n∈N*．（Ⅰ）令bn=a2n-1，判断{bn}是否为等差数列，并求出bn；（Ⅱ）记{an}的前2n项的和为T2n，求T2n．

Answer 1

（Ⅰ）∵[3+(?1)n]an+2?2an+2[(?1)n?1]＝0，
∴[3+(?1)2n?1]a2n+1?2a2n?1+2[(?1)2n?1?1]＝0，
即a_2n+1-a_2n-1=2…（4分）∵b_n=a_2n-1，∴b_n+1-b_n=a_2n+1-a_2n-1=2
∴{b_n}是以b₁=a₁=1为首项，以2为公差的等差数列 …（5分）
b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（6分）
（Ⅱ）对于[3+(?1)n]an+2?2an+2[(?1)n?1]＝0，
当n为偶数时，可得（3+1）a_n+2-2a_n+2（1-1）=0，即

an+2

an

＝

1

2

，
∴a₂，a₄，a₆，…是以a2＝

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；…（8分）
当n为奇数时，可得（3-1）a_n+2-2a_n+2（-1-1）=0，即a_n+2-a_n=2，
∴a₁，a₃，a₅，…是以a₁=1为首项，以2为公差的等差数列…（10分）
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=[n×1+

1

2

n(n?1)×2]+

1 2 [(1?( 1 2 )n]

1? 1 2

=n2+1?

1

2n

…（12分）