Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,a(n+2)-2a(n+1)+an=2n-6

1.设bn=a（n+1）-an，求数列bn的通项公式
2.求n为何值时，an最小

ps：过程，括号里的是下标

Answer 1

a(n+2)-2a(n+1)+an=2n-6,
[a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+1)-an]=2n-6,
令bn=a（n+1）-an，则b(n+1)-bn=2n-6,
b2-b1=-4
b3-b2=-2,
...
bn-b(n-1)=2(n-1)-6,
相加得bn-b1=2n(n-1)/2 -6(n-1)=n^2-7n+6
b1=a2-a1=-14,所以bn=n^2-7n-8

an最小就是an-a(n-1)=b(n-1)不再为负数，
bn=n^2-7n-8>=0算出n>=8，n=8时刚好b8=0,
即a9-a8=0,所以n=8或9时最小

Answer 2

1，上式化为（a（n+2）-a（n+1））-（a（n+1）-a（n））=2n-6，即b（n+1）-bn=2n-6，.......,b2-b1=2*1-6,将它们相加，得bn-b1=（n-6）*（n-1），所以bn=（n-6）*（n-1）-14，n=1时也满足
2，bn=a（n+1）-an=（n-6）*（n-1）-14，an-a（n-1）=（n-7）*（n-2）-14=n^2-9n,.....,a2-a1=2^2-9*2,将它们叠加得，an-a1=（2^2+3^2+...+n^2)-(n-1)(n+2)*9/2=n*(n+1)*（2n+1）/6-(n-1)(n+2)*9/2,化得an=（n^3-12*n^2-13n）/3+10,即分析n^3-12*n^2-13n在n何值时最小即可，根据大致图形或根据导数可求得n=8时an最小