Question

已知数列{An}满足A1=1,A2=-13,A(n+2)-2A(n+1)+An=2n-6

(1)设bn=A(n+1)-An,求数列{bn}的通项公式
(2)求n为何值时，An最小

Answer 1

解：1、bn=A(n+1)-An,b(n+1)=A(n+2)-A(n+1)，则
A(n+2)-2A(n+1)+An=2n-6=b(n+1)-bn，于是
b(n)-b(n-1)=2n-8
b(n-1)-b(n-2)=2n-10
……
b4-b3=0
b3-b2=-2
b2-b1=-4
b1=A2-A1=-14
两边相加得
b(n)=-14+[-4-2+0+2+4+……+2(n-4)]=-14-6+2*(n-4)(n-3)/2=n^2-7n-8
2、则A(n+1)-An=n^2-7n-8=(n-8)(n+1)
当n<8时，(n-8)(n+1)<0，A(n)逐项减小。当n=8时，A9-A8=0，A9=A8均达到最小值。于是当n=8或n=9时，An最小。

追问

n能不能等于9啊？代9进去得的是个正数啊

追答

n可以等于9，注意在此n=9指的是A9。因为A8=A9，故最小值也可以取到A9。

Answer 2

A(n+2)-2A(n+1)+An=2n-6
A(n+2)-A(n+1)=A(n+1)-An+2n-6
b(n+1)=bn+2n-6

当An-A(n-1)<=0，且A(n+1)-An>=0时，An最小
即b(n-1)<=0且bn>=0时，An最小
很容易算出b7=-6,b8=2
所以n=8

Answer 3

由于A(n+2)-2A(n+1)+An=2n-6
即(A(n+2)-A(n+1))-(A(n+1)-An)=2n-6。
即b(n+1)-bn=2n-6
设bn=A(n+1)-An，
可知b1=A2-A1=-14
所以b(n+1)-bn+bn-b(n-1)+...+b3-b2+b2-b1
=2n-6+...+(-4)=b(n+1)-b1=b(n+1)+14
又2n-6+...+(-4)=n(n-5)
所以b(n+1)=n(n-5)-14
即bn=n^2-7n-8=(n-8)(n+1)

当n<8时，(n-8)(n+1)<0，A(n)单调递减。
当n=8时，A9-A8=0，A9=A8均达到最小值。
所以当n=8或n=9时，An最小。