Question

（2001?江西）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12．（

（2001?江西）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12．（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M_底面=

1

2

(BC+AD)?AB=

1+0.5

2

×1＝

3

4

（2分）
∴四棱锥S-ABCD的体积是V＝

1

3

×SA×M底面＝

1

3

×1×

3

4

＝

1

4

；（4分）

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，
则SE是所求二面角的棱（6分）
∵AD∥BC，BC=2AD
∴EA=AB=SA，
∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，
EB是交线．又BC⊥EB，
∴BC⊥面SEB，
故SB是SC在面SEB上的射影，
∴CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角（10分）
∵SB=

SA2+AB2

＝

2

，BC＝1，BC⊥SB
∴tan∠BSC=

BC

SB

＝

2

2

即所求二面角的正切值为

2

2

．（12分）