Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90度，SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2.

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90度，SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2.
1.求四棱柱S-ABCD的体积；
2.求证：面SAB⊥面SBC；
3.求SC与底面ABCD所成角的正切值

Answer 1

解析：①直角梯形ABCD的面积为

S底面=½(BC+AD)·AB=(1+0.5)/2×1=3/4,

∴四棱锥S-ABCD的体积是

V=⅓×SA×S底面=⅓×1×3/4=¾.

②我觉得这问楼上证明挺好,不需要补充.

③如图，延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱.

∵AB//BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB.

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB.

故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE.

所以∠BSC是所求二面角的平面角.

∵SB=√(SA²＋AB²)=√2，BC=1，BC⊥SB，

tan∠BSC=BC/SB=√(2)/2.

即所求二面角的正切值为√(2)/2     [(即二分之根号二)].

Answer 2

1、V=（AD+BC）XABXSA=3/2

2、因为AD垂直于SA，AD也垂直于AB，所以AD垂直于面SAD

     又因为AD平行于BC，所以BC也垂直于面SAD

     又因为BC在面SBC中，所以面SAB垂直于面SBC

3、连接AC，因为SA垂直于面ABCD，所以角SCA就是SC与底面所成角，其正切值为SA/AC

     很容易知道AC=根号2，所以正切值为2分之根号2.