Question

设函数f（x）=-13x3+x2+（m2-1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处

设函数f（x）=-13x3+x2+（m2-1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）当m=1时，f（x）=-

1

3

x³+x²，f′（x）=-x²+2x，故f′（1）=1．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（2）f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1-m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．