Question

已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an2+an-2Sn=0，cn=anbn，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若b1

已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an2+an-2Sn=0，cn=anbn，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若b1=1，2bn-bn-1=0（n≥2，n∈N*），求出数列{cn}的前n项和Tn并判断是否存在整数m、M，使得m＜Tn＜M对任意正整数n恒成立，且M-m=4？说明理由．

Answer 1

解答：（本题满分15分）
解：（1）令n＞1，

a

2 n?1

+an?1?2Sn?1＝0，
所以（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+a_n-a_n-1-2a_n=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
a_n-a_n-1=1，
令n=1
则

a

2 1

+a1?2a1＝0?a1＝1．
从而，a_n=1+（n-1）=n．
（2）因为

bn

bn?1

＝

1

2

，所以bn＝(

1

2

)n?1，
因此cn＝n(

1

2

)n?1．
所以Tn＝1(

1

2

)0+2(

1

2

)1+…+n(

1

2

)n?1，

1

2

Tn＝1(

1

2

)1+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，

1

2

Tn＝1+

1

2

+…+(

1

2

)n?1?n(

1

2

)n，Tn＝4[1?(

1

2

)n]?n(

1

2

)n?1
=4?4(

1

2

)n?n(

1

2

)n?1
=4?(2n+4)(

1

2

)n．
从而可得：T_n＜4．
因为Tn+1?Tn＝4?(2n+6)(

1

2

)n+1?4+(2n+4)(

1

2

)n=(

1

2

)n(n+1)＞0．
所以T_n≥T₁=1．
故存在整数M=4，m=0满足题目要求．