Question

设随机变量X的概率密度为fX（x）=e?x， x≥00， x＜0，求随机变量Y=eX的概率密度fY（y）

设随机变量X的概率密度为fX（x）=e?x， x≥00， x＜0，求随机变量Y=eX的概率密度fY（y）．

Answer 1

设Y的分布函数为F_Y（y），
则根据分布函数的定义，有：
FY(y)＝P(Y≤y)＝P(ex＜y)，
∴①当y≤0时，F_Y（y）=P（?）=0，
②当0＜y＜1时，即lny＜0，此时F_Y（y）=P(x＜lny)＝

∫

lny ?∞

0dx＝0，
③当1≤y时，即lny≥0，此时F_Y（y）=P(x＜lny)＝

∫

0 ?∞

0dx+

∫

lny 0

e?xdx=1?

1

y

，
于是：FY(y)＝

0 ，y＜1 1? 1 y ，y≥1

从而：随机变量Y=e^X的概率密度f_Y（y）为：
fY(y)＝

dFY(y)

dy

＝

0 ，y＜1 1 y2 ，y≥1

．