已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.(Ⅰ)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)<0,求a的取值范围;(Ⅱ)若f

已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.(Ⅰ)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)<0,求a的取值范围;(Ⅱ)若f(x)=x有两个不同的实数解u,v(0<u<v),... 已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.(Ⅰ)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)<0,求a的取值范围;(Ⅱ)若f(x)=x有两个不同的实数解u,v(0<u<v),证明:f′(u+v2)>1. 展开
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云哥1422
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解答:(Ⅰ)解:当x∈(0,+∞)时,f(x)<0等价于x-
lnx
x
<a.
令g(x)=x-
lnx
x
,则g′(x)=
x2?1+lnx
x2

当x∈(0,1)时,g′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.
g(x)有最小值g(1)=1.…(4分)
∴a的取值范围是(1,+∞).…(5分)
(Ⅱ)证明:∵f(x)=x,即x2-lnx=(a+1)x有两个不同的实数解u,v.
∴u2-lnu=(a+1)u,v2-lnv=(a+1)v.
∴(u+v)(u-v)-(lnu-lnv)=(a+1)(u-v).…(7分)
由u-v<0,解得a=u+v-
lnu?lnv
u?v
-1.
又f′(x)=2x-
1
x
-a,
∴f′(
u+v
2
)=(u+v)-
2
u+v
-(u+v)+
lnu?lnv
u?v
+1
=
lnu?lnv
u?v
-
2
u+v
+1.…(9分)
设h(u)=lnu-lnv-
2(u?v)
u+v

则当u∈(0,v)时,h′(u)=
(u?v)2
u(u+v)2
>0,
h(u)在(0,v)单调递增,h(u)<h(v)=0,
从而
lnu?lnv
u?v
-
2
u+v
>0,
∴f′(
u+v
2
)>1.(12分)
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