Question

如图,已知抛物线y=ax^2+x+c(a≠0)与x轴交于点a(-1,0)点b(3,0),与y轴交与点c(0,3). (1)在该抛物线的对称轴

上是否一点q，使qa+qc最小？求q的坐标。
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点m，使三角形mac为等腰三角形？求点m的坐标。
（3）求三角形bcd的面积。

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Answer 1

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（1）D点横坐标为（-1+3）/2=1,C点关于该抛物线的对称轴的对称点坐标为（2,3），其与A(-1,0)构成直线的方程为：（0-3）/(-1-2)=(y-3)/(x-2),即：y=x+1，
y=x+1与x=1交点（1，2,是Q点坐标

（2）AC=√（3²+1²）=√10，令M（1，,y）
若MA=AC，（2²+y²）=10，y=±√6
若MC=AC，1²+（y-3）²=10，y=6或0
若MC=MA，直线AC斜率为3、线段AC中点坐标（-0.5,1.5），
可知过点（-0.5,1.5）与直线AC垂直的直线方程为x+3y-4=0，与x=1交点为：（1,1）
所以：该抛物线的对称轴上存在点m，使三角形mac为等腰三角形，点m的坐标有四个：
（1，√6）、（1，-√6）、(1，0）、（1，1）。其中（1，6）舍去，因此时mac三点一线。

（3）将a(-1,0)、点b(3,0),c(0,3)分别代入y=ax^2+x+c联立方程得：y= -x² +2 x +3,
y= -(x-1)²/ +4，故D（1，4），若对称轴与x轴交点E，
Sbcd=Socde+Sbde-Sobc=（4+3）×1÷2 + 4×（3-1）÷2 - 3×3÷2 =3

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Answer 2

抛物线过A、B，设Y=a(X+1)(X-3)，
又过C(0，3)，得：3=-3a，a=-1，
∴Y=-X^2+2X+3，
对称轴X=1，顶点D(1，4)，
⑴BC解析式：Y=-X+3，
令X=1，Y=2，∴Q(1，2)，
⑵AC=√10，设对称轴X=1与X轴交于E，AE=2，
①AM=AC=√10，ME=√(AM^2-AE^2)=√6，
∴M1(1，√6)，M2(1，-√6)，
②CM=CA=√10，过C作CF⊥DE于F，CF=1，
MF=√(AC^2-CF^2)=3，
∴EM=6或0，当EM=6时，A、C、M共线舍去，
∴M3(1，0)，
③MA=MC，设M(1，m)
(1+1)^2+m^2=1+(m-3)^2，
m=1，
∴M4(1，1)。
⑶SΔBCD=SΔBDE+S梯形OCDE-SΔOBC
=1/2DE×BE+1/2(OC+DE)×OE-1/2OB×OC
=2+7/2-9/2
=1。