Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）+f（-x+4）=0，当x＜2时，f′（x）＜0，若x1+x2＜4且（x1-2）（x2

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）+f（-x+4）=0，当x＜2时，f′（x）＜0，若x1+x2＜4且（x1-2）（x2-2）＜0，则 f（x1）+f（x2）的值（　　）A．恒正B．恒负C．可正可负D．可能等于0

Answer 1

解：从f（x）+f（4-x）=0即f（x）=-f（4-x），
则f（x）图象关于点（2，0）为中心对称，
并且当x＜2时，函数f（x）为减函数，
做草图如图示：
不妨假设x₁＜x₂，由x₁+x₂＜4，
得x₁-2+x₂-2＜0，
又（x₁-2）?（x₂-2）＜0，
得（x₁-2）与（x₂-2）异号，
则x₁，x₂分居于点（2，0）的两侧，
根据x₁＜x₂，于是有|x₁-2|＞|x₂-2|，
根据中心对称函数为减函数时，距离对称中心越远，函数绝对值越大，
则有|f（x₁）|＞|f（x₂）|，
结合图示得f（x₁）＞-f（x₂），
则f（x₁）+f（x₂）＞0，
故选A．