Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE． （1）判断线段AC与AE是否相等，并说明理由；（2）求过A、C、D三点的圆的直径．

Answer 1

（1）AC＝AE；（2）

试题分析：（1）由∠ACB＝90°可得AD为直径，再根据AD是△ABC的角平分线，可得 ，即得 ，即可证得结论； （2）先跟勾股定理求得AB的长，从而得到BE的长，证得△ABC∽△DBE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得DE的长，再根据勾股定理即可求得结果。 （1）∵∠ACB＝90°，  ∴AD为直径，    又∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∴在同一个⊙O中，AC＝AE；     （2）∵AC=5，CB=12， ∴AB= ， ∵AE=AC=5， ∴BE=AB-AE=13-5=8，        ∵AD是直径， ∴∠AED=∠ACB=90°， ∵∠B=∠B， ∴△ABC∽△DBE，    ∴ ， ∴DE＝  ，  ∴AD＝   ∴△ACD外接圆的直径为 ． 点评：解答本题的关键是熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径；在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等。