Question

设抛物线C：y2=3px（p≥0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，3），则C的方程为（

设抛物线C：y2=3px（p≥0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，3），则C的方程为（　　）A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

Answer 1

∵抛物线C方程为y²=3px（p＞0）
∴焦点F坐标为（

3p

4

，0），可得|OF|=

3p

4

∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=

4+ 9p2 16

∴sin∠OAF=

|OF|

|AF|

＝

3p 4

4+ 9p2 16

∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=

|AF|

|MF|

=

3p 4

4+ 9p2 16

，
∵|MF|=5，|AF|=

4+ 9p2 16

∴

4+ 9p2 16

5

=

3p 4

4+ 9p2 16

，整理得4+

9p2

16

=

15p

4

，解之可得p=

4

3

或p=

16

3

因此，抛物线C的方程为y²=4x或y²=16x．
故选：C．