Question

（2014?泰州模拟）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱C1C垂直于底面

（2014?泰州模拟）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱C1C垂直于底面ABCD，且C1C=2，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：A1P⊥平面PBD；（3）求三棱锥A1-BDC1的体积V．

Answer 1

（1）证明：连接AC，AC∩BD=O，连接OC₁，则O是AC的中点，
∵点P是侧棱C₁C的中点，
∴AC₁∥OP，
∵AC₁?平面PBD，OP?平面PBD，
∴AC₁∥平面PBD；
（2）证明：CP=1，CB=1，在Rt△BCP中，PB=

2

，
同理可知，A₁P=

3

，A₁B=

5

所以A₁P²+PB²=A₁B²，则A₁P⊥PB，
同理可证，A₁P⊥PD，
由于PB∩PD=P，PB?平面PBD，PD?平面PBD，
∴A₁P⊥平面PBD．
（3）解：易知三棱锥A₁-BDC₁的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，
即AB×AD×A₁A-4×

1

3

×（

1

2

AB×AD）×A₁A=

1

3

×1×1×2=

2

3

．