Question

已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE

已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连结QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB=23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=23，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

（1）∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠BAE=60°．
∵∠ABC=90°，
∴EF=2；                           
 
（2）EF=BF．理由如下：
∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP，
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
又∵∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BF；                            

（3）在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．

∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2

3

．
由（2）得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD＝

3

．
∴BF=

BG

cos30°

=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=x．
∴QF=QE+EF=x+2．
∴以QF为边的等边三角形的面积y=

3

4

(x+2)2＝

3

4

x2+

3

x+

3

．

Answer 2

你打错字了，应该是2根号3吧？