Question

已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点p为射线BC上任意一点（点P与点B不重合）连接AB,∠QAP=60°，AQ=AP，

问，当点P为射线BC上任意一点时，AF都垂直平分BE吗？说明理由

Answer 1

应该连接AP,
1、AP没有与BE相交
∵△ABE是是等边三角形
∴AB=AE ∠EAB=∠ABE=∠AEB=60°
∵∠QAP=60°
∴∠QAP+∠PAE=∠EAB+∠PAE
即∠QAE=∠PAB
在△AQE和△ABP中
AQ=AP AE=AB ∠QAE=∠PAB
∴△AQE≌△ABP
∴∠ABC=∠AEQ=90°
∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AEQ=180°-60°-90°=30°
∵∠ABC=90° ∠ABE=60°
∴∠EBF=∠ABC-∠ABE=90°-60°=30°
∴∠EBF=∠BEF
∴△BEF是等腰三角形
∴BF=FE
在△ABF和△AEF中
AB=AE BF=FE AF=AF
∴△ABF≌△AEF
∴∠BAF=∠FAE
∵△ABE是等边三角形
∴AF⊥BE( 角平分线，高，中线三线合一）
2、AP与BE相交
∵△ABE是是等边三角形
∴AB=AE ∠EAB=∠ABE=∠AEB=60°
∵∠QAP=60°
∴∠QAP-∠PAE=∠EAB-∠PAE
即∠QAE=∠PAB
在△AQE和△ABP中
AQ=AP AE=AB ∠QAE=∠PAB
∴△AQE≌△ABP
∴∠ABC=∠AEQ=90°
∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AEQ=180°-60°-90°=30°
∵∠ABC=90° ∠ABE=60°
∴∠EBF=∠ABC-∠ABE=90°-60°=30°
∴∠EBF=∠BEF
∴△BEF是等腰三角形
∴BF=FE
在△ABF和△AEF中
AB=AE BF=FE AF=AF
∴△ABF≌△AEF
∴∠BAF=∠FAE
∵△ABE是等边三角形
∴AF⊥BE( 角平分线，高，中线三线合一）

所以当点P为射线BC上任意一点时，AF都垂直平分BE

Answer 2

条件有误 无F点

追问

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