Question

如图所示，光滑水平轨道MN、PQ和光滑倾斜轨道NF、在、N点连接，倾斜轨道倾角为θ，轨道间距均为L．水平轨

如图所示，光滑水平轨道MN、PQ和光滑倾斜轨道NF、在、N点连接，倾斜轨道倾角为θ，轨道间距均为L．水平轨道间连接着阻值为R的电阻，质量分别为M、m，电阻分别为R、r的导体棒a、b分别放在两组轨道上，导体棒均与轨道垂直，a导体棒与水平放置的轻质弹簧通过绝缘装置连接，弹簧另一端固定在竖直墙壁上．水平轨道所在的空间区域存在竖直向上的匀强磁场，倾斜轨道空间区域存在垂直轨道平面向上的匀强磁场，该磁场区域仅分布在QN和EF所间的区域内，QN、EF距离为d，两个区域内的磁感应强度分别为B1、B2，以QN为分界线且互不影响．现在用一外力F将导体棒a向右拉至某一位置处，然后把导体棒b从紧靠分界线QN处由静止释放，导体棒b在出磁场边界EF前已达最大速度．当导体棒b在磁场中运动达稳定状态，撤去作用在a棒上的外力后发现a棒仍能静止一段时间，然后又来回运动并最终停下来．求：（1）导体棒b在倾斜轨道上的最大速度（2）撤去外力后，弹簧弹力的最大值（3）如果两个区域内的磁感应强度B1=B2且导体棒电阻R=r，从b棒开始运动到a棒最终静止的整个过程中，电阻R上产生的热量为Q，求弹簧最初的弹性势能．

Answer 1

（1）b棒达到最大速度时，设b杆中的电流为I，
则有：mgsinθ=F_安=B₂IL；
切割感应电动势：E=B₂Lv；
闭合电路欧姆定律，I＝

E

R 2 +r

解得：v＝

(R+2r)mgsinθ

2 B 2 2 L2

；
（2）撤去外力后，a杆将做减幅振动，最大弹力出现在其静止阶段，此时b杆正处于匀速运动阶段
故F弹＝F′安＝

1

2

B1IL；
解得：F弹＝

B1mgsinθ

2B2

（3）设b杆在磁场中运动期间，电阻R上产生的热量为Q₁，a杆振动期间，电阻R上产生的热量为Q₂
则有：Q=Q₁+Q₂；
由于B₁=B₂且导体棒电阻R=r可得到，b杆在磁场中运动期间，
由能量守恒定律：mgdsinθ＝Q1+

1

2

mv2；
a杆振动期间：E_P=Q₂；
解得：EP＝6Q?mgdsinθ+

9m3g2sin2θ

8B4L4

答：（1）导体棒b在倾斜轨道上的最大速度

(R+2r)mgsinθ

2 B 2 2 L2

；
（2）撤去外力后，弹簧弹力的最大值

B1mgsinθ

2B2

；
（3）弹簧最初的弹性势能6Q-mgdsinθ+

B1mgsinθ

8B4L4

．