Question

已知关于x的一元二次方程x 2 +k（x-1）-1=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）是否

已知关于x的一元二次方程x 2 +k（x-1）-1=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）是否存在正数k，使方程的两个实数根x 1 ，x 2 满足x 1 2 +kx 1 +2x 1 x 2 =7-3（x 1 +x 2 ）？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）方程x 2 +k（x-1）-1=0可化为x 2 +kx-k-1=0， 由于△=k 2 +4k+4=（k+2） 2 ≥0， 所以方程有两个实数根． （2）假设存在正数k，满足x 1 2 +kx 1 +2x 1 x 2 =7-3（x 1 +x 2 ）， 由于x 1 ，x 2 是方程的两个实数根， ∴把x=x 1 代入得：x 1 2 +kx 1 -k-1=0， ∴x 1 2 +kx 1 =k+1，x 1 +x 2 =-k，x 1 x 2 =-k-1， 即k+1+2（-k-1）=7+3k， 解得k=-2，这与题设k＞0相矛盾． ∴满足条件的正数k不存在．