Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x＝12处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x＝12处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2x-2，若存在x1∈（0，+∞），对于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴f′(x)＝

ax+1

x

（x＞0）
若a=-1，k＝f′(

1

2

)＝?1+2＝1
（Ⅱ）当a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数
当a＜0，令f^′（x）＞0，∴0＜x＜?

1

a

，f^′（x）＜0，∴x＞?

1

a

，
综上：a≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，符合题意；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞）
∴f(x)max＝f(?

1

a

)＝?1+ln(?

1

a

)
由题意知，只需满足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=0，∴?1+ln(?

1

a

)≥0，
∴?

1

e

≤a＜0
综上：a≥?

1

e