Question

已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1

已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0，（1）求f（1）与f（-1）值；（2）求证：f（x）是偶函数；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）令x₁=x₂=1
∵f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1）
∴f（-1）=0；（2分）
（2）证明：令x₁=-1
∵f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁?x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函数；（3分）
（3）证明：令x₁＞1，当x₂∈（0，+∞）时，x₁?x₂＞x₂
∵当x＞1时f（x）＞0
∴f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3分）