Question

已知函数f（x）=ex-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（Ⅰ）当k=e时，证明f（x）≥0恒成立；（Ⅱ）

已知函数f（x）=ex-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（Ⅰ）当k=e时，证明f（x）≥0恒成立；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞）
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．
所以函数有最小值f（1）=e-e=0，所以f（x）≥0恒成立．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0．
此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，故1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是（0，e）．