在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x 2 =2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为...
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x 2 =2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为 。(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若点M的横坐标为 ,直线l:y=kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当 ≤k≤2时, 的最小值。
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解:(Ⅰ)F抛物线C:x 2 =2py(p>0)的焦点F , 设M , ,由题意可知 , 则点Q到抛物线C的准线的距离为 ,解得 , 于是抛物线C的方程为 。 (Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M, 而 , , , , , 由 可得 , , 则 ,即 ,解得 , 点M的坐标为 (Ⅲ)若点M的横坐标为 ,则点M , 。 由 可得 , 设 , 圆 , , 于是 , 令 , 设 , , 当 时, , 即当 时 . 故当
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