Question

已知函数f（x）=kx3-3（k+1）x2-2k2+4，若f（x）的单调减区间为（0，4）．（1）求k的值；（2）对任意的t

已知函数f（x）=kx3-3（k+1）x2-2k2+4，若f（x）的单调减区间为（0，4）．（1）求k的值；（2）对任意的t∈[-1，1]，关于x的方程2x2+5x+a=f（t）总有实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，f′（x）=3kx²-6（k+1）x
∵f′（4）=0，∴k=1
（2）f′（t）=3t²-12t
∴-1＜t＜0，f′（t）＞0，0＜t＜1，f′（t）＜0
∵f（-1）=-5，f（1）=-3
∴f（t）≥-5
∵2x²+5x+a≥

8a?25

8

∴

8a?25

8

≤?5
∴a≤?

15

8