Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，23）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S=54时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，求出点R的坐标．

Answer 1

（1）据题意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，

2

3

），
∴

c＝2 2＝4a+2b+2 2 3 ＝16a+4b+2

，
∴

a＝? 1 6 b＝ 1 3 c＝2

，
∴y=-

1

6

x2+

1

3

x+2；

（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．
连接AD，与对称轴的交点即为M．
∵A（0，2）、D（4，

2

3

），
∴直线AD的解析式为：y=-

1

3

x+2，
当x=1时，y=

5

3

，
则M（1，

5

3

）；
（3）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，AP=2t，
∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
∴=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
②当S=

5

4

时，

5

4

=5t²-8t+4
即20t²-32t+11=0，
解得：t=

1

2

，t=

11

10

＞1（舍）
∴P（1，2），Q（2，