Question

已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点p（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．（1）求函数y=f（x）的解析式及

已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点p（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．（1）求函数y=f（x）的解析式及单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）+m-1n4在[1e，2]上恰有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=alnx+bx²，（x＞0），∴f′（x）=

a

x

+2bx，
∵函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0，
∴

f′(1)＝2 2×1?f(1)?3＝0

，即

a+2b＝2 ?b?1＝0

，
∴a=4，b=-1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4lnx-x²
则有f′（x）=

4

x

-2x，
令f′（x）＞0，即

4

x

-2x＞0，解得：0＜x＜

2

令f′（x）＜0，即

4

x

-2x＜0，解得：x＞

2

∴函数f（x）的单调增区间是（0，

2

）；单调减区间是（