Question

已知函数f(x)=alnx-bx^2图象上一点P(2,f(2))处切线方程为y=-3x+2ln2+2

若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）

答案是1＜m≤2+(1/e^2)

请给个过程，是怎么来的……

Answer 1

P(2,f(2))处切线方程为y=-3x+2ln2+2
可知-6+2ln2+2=aln2-b*4
得a=2，b=1
即f（x）=2lnx-x^2
f'(x)=2/x-2x=0,得x=1（x=0不取）
即在x=1，f（1）=2ln1-1=-1为最大值点

令g（x）=f(x)+m=2lnx-x^2+m
当有一个交点时，m=1（由最大值点得出）

[1/e,e]内有两个不等实根，则f（1/e）<=0且f（e）<=0
得2ln1/e-1/e^2+m<=0,得m<=1/e^2+2
2lne-e^2+m<=0,得m<=e^2-2
e^2-2>1/e^2+2

所以1<m<=1/e^2+2

Answer 2

求导，f'（x）=a/x -2bx
由题意得f'(2)=a/2 -4b =-3 ①
f(2)=aln2-4b
对于y=-3x+2ln2+2
令x=2得
2ln2+2-3*2
则aln2-4b=2ln2+2-3*2 ②
①②联立解得
a=2 b=1
代入原方程得
f（x）=2lnx-x^2
f'（x）=2/x -2x
=2(1+x)(1-x)/x
当x<-1或0<x<1时，f'（x）>0 即f(x)的单调增区间是（-∞，-1），（0,1）
当x>1或-1<x<0时，f'（x）<0 即f(x)的单调减区间是（-1,0），（1，∞）
f(x)在[1/e,e]内，
[1/e,1）上递增，（1，e]上递减
f max(x)=f（1）=2ln1-1^2=-1
f(1/e)=2ln(1/e)-1/(e^2)= -2 - 1/e^2
f(e)=2lne-e^2=2-e^2
所以f（x）在[1/e,e]上图像是
先从-2 - 1/e^2上升到-1
再从-1降到2-e^2
f(x)=-m
y=-m要与图像有2个交点的话
1＜m≤2+(1/e^2)
不过1好像是可以取的吧