Question

已知数列{an}，Sn是前n项的和，且满足a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，设bn=an+n．（1）求a2；

已知数列{an}，Sn是前n项的和，且满足a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，设bn=an+n．（1）求a2；（2）求证：数列{bn}是等比数列；（3）求limn→∞（1b1+1b3+…+1b2n?1）的值．

Answer 1

（1）∵a₁=2，对一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，
令n=1，可得 2+a₂=3×2+1+2，求得a₂=7．
（2）证明：∵S_n+1=3S_n+n²+2，∴S_n=3S_n-1+（n-1）²+2，
∴两式相见可得a_n+1=3a_n+2n-1，即a_n+1+（n+1）=3a_n+2n-1+（n+1）=3（a_n+n） ①．
又b_n=a_n+n，∴由①可得 b_n+1=3（a_n+1+n）=3b_n，∴数列{b_n}是公比为3的等比数列．
（3）由于b₁=a₁+1=3，故b_n=3×3^n-1=3ⁿ，
∴

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n?1

=

1

3

+

1

33

+

1

35

+…+

1

32n?1

=

1 3 [1?( 1 9 )n]

1? 1 9

=

3

8

-

3

8

×(

1

9

)n，
∴

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n?1

）=

lim

n→∞

 （

3

8

-

3

8

×(

1

9

)n ）=

3

8

．